Александр Иванович родился 14 февраля 1926 года в селе Такмово Кочелаевского района Мордовской АССР. Вырос в многодетной семье. Окончил четыре класса начальной школы. Жила семья тяжело, с 7 лет Александр старался помочь матери с отцом, работал с дедом в поле, научился плести лапти, обувал младших детей (излишки продавали). Уже в 14 лет работал пастухом. Когда началась война, Александру исполнилось 15. Отца сразу забрали на фронт, в 1942 году он погиб. Остался Александр в семье за старшего. Как мог, тянул хозяйство, работал на элеваторе. В 1943 году получил повестку, но ему дали отсрочку по причине истощения. Однако на фронт Байкин все-таки попадает -- в 1944 году, зачислен в Сибирскую девятую гвардейскую стрелковую наступательную дивизию. В первом же бою он получил ранение. Полтора месяца находился на лечении в госпитале. Второе ранение в ногу получил в бою за Лиепаю (Латвия), и снова госпиталь. Затем участвовал в боях за Порт Линая (Балтийское море) в рядах 9-ой Гвардейской наступательной стрелковой  дивизии. 

Победу 9 мая  1945 года Байкин встретил в полевом госпитале Латвии. После войны отслужил пять с половиной лет в Литве, в г.Каунас,  охранял пленных немцев. В марте 1950 года был демобилизован.

Александр Иванович награжден «Орденом Отечественной войны II степени», медалями «За Победу над Германией в ВОВ 1941-1945», «За отвагу».